Задача на проведение морской границы

Пусть имеется остров, который вслед за физиками примем в условиях задачи за материальную точку. Рядом с ним проходит материк, береговую линию которого принимаем за прямую линию.

Вопрос: как провести между ними морскую границу? Подобные споры, связанные с делением богатства, нередко возникают в экономической практике.

Комментарий. Морская граница по замыслу авторов - это линия, которая равноудалена и от острова, и от побережья материка. Вспомните из курса аналитической геометрии, какое геометрическое место точек на плоскости равноудалено от заданной точки (фокуса) и прямой (директрисы). Тогда станет ясно, как именно начертить границу.

Решение:

Чтобы разрешать такие задачи, на начальном этапе всегда строят формальную модель, построенную с различными допущениями. Она нужна, чтобы выделить самое основное для получения ответа, отбросив второстепенные подробности. Затем, когда основные результаты получены, делают корректировку - уточняют, дополняют данные. В среде математиков всё это дело в шутку называют "притягивание за уши".

Наши первоначальные предпосылки будут следующими:

1) Остров имеет форму точки (как сказали бы физики, материальной точки);

2) Побережье материка (выходящее к морю и граничащее с островом) имеет форму прямой линии.

Положившись на эти допущения, мы замечаем, что задача стала удобоваримой для формализации. Формальная модель будет выглядеть так:

В качестве модели мы берём точку и прямую на плоскости (кстати, можно взять и объёмное, трёхмерное изображение - это ничуть не менее привлекательно, некоторые мои коллеги так и делают - но я всё же продемонстрирую более простую картинку).

Задача, таким образом, свелась к нахождению такого ГМТ (Геометрического Места Точек), которое будет равноудалено и от острова, и от побережья.

Из курса аналитической геометрии хорошо известно, что нам следует в таком случае строить параболу - ведь это и есть то самое место точек, которое равноудалено от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой).

Чтобы построить параболу по данным нашей задаче, нужно сделать буквально следующее:

1) Мысленно провести отрезки, соединяющие остров и побережье;

2) У каждого такого отрезка отметить середины;

3) Все найденные середины соединить плавной линией. Это и будет искомая парабола.

Результаты представлены на рисунке ниже:

(рисунок выполнен Екатериной Драгомировой, на тот момент - ученицей 9-го класса, создатель сайта выражает ей свою искреннюю благодарность).

Речь идёт, таким образом, о «старой доброй» параболе.

Ответ: искомой границей между полуостровом и материком является парабола.