|
Вопрос о симметрии и парабола
Описанный нами в первой статье ("История про остов и параболу") математический объект имеет одно замечательное свойство, умолчать о котором преступно по отношению к тем, кто хочет научиться эффектно решать задачи по разным предметам. Поскольку парабола задаётся чётной функцией, постольку она обладает свойством осевой симметрии. Напомним, чётная функция - это по сути та, в которой можно смело заменить икс (х) на икс с противоположным знаком (-х), и ничего при этом не переменится. Кроме нашего мнения о ней, наверное.
Надо заметить, симметрия пребывает в природе в самых разных формах - не только относительно какой-то оси, но и точки (это годится уже для нечётной функции, где от перемены знака перед "икс" и функция меняет свой знак); или даже целой фигуры - симметрия вращения... И т.д. В каждом новом случае надо говорить о новых свойствах , присущих данной функции ! Мы же пока поговорим о симметрии осевой. Что такое пресловутая осевая симметрия, каждый желающий может увидеть в зеркале:
Человеческое лицо обладает свойством осевой симметрии, если оно ничем не "испорчено". В идеале обе половонки должны быть одинаковы; конечно, такого часто не происходит - вот на этой картинке дама уже успела частично припудрить правую к зрителю щёку, из-за чего идеальная симметрия на картинке немного, но нарушилась:
На основе таких простых рассуждений можно предложить остроумный фокус - нахождение носа с закрытыми глазами. На картинке выше дамский нос расположен ПРЯМО на оси симметрии; следовательно, её глаза в идеале должны находиться на одинаковом расстоянии от носа. Итак, чтобы найти нос не глядя, мы должны: 1) Нащупать месторасположение глаз (по ресницам, например - и аккуратно !); 2) Провести отрезок, соединяющий глаза; 3) Найти середину этого отрезка, от неё двигаясь вниз перпендикулярно полу - и Ваш палец непременно встретится с носом.
Итак, переходя к параболе, мы должны отметить оригинальный способ нахождения экстремума (максимума или минимума, по ситуации) глядя на её график:
Пусть график имеет вид, как на рисунке выше. Для нахождения минимума (видно, что им будет проекция точки "а" на ось абсцисс ОХ) мы поступаем очень просто: 1) Находим точки "b" и "с" - на рисунке это нули функции, то есть для их нахождения достаточно вместо "у" в уравнении параболы подставить нуль; 2) Увидим отрезок "bc", на котором лежит искомый минимум; 3) Найдём середину этого отрезка - достаточно для этого взять среднеарифметическое двух точек - нулей нашей функции. Кстати, вместо точек "b" и "с" можно взять любые две другие, которые друг против друга лежат.
Напоследок заметим: симметрия - поистине удивительная вещь, она долгие годы находится под пристальным вниманием не только математиков, но и физиков, и других специалистов. Так получилось, что через понятие симметрии в точные науки пришло понимание прекрасного, особые эстетические чувства. Особенно интересна популярно-математическая книга "Истина и красота" автора Иэна Стюарта. Её второе название - "Всемирная история симметрии". Она открывается следующим эпиграфом, который пусть послужит заключением к данной статье: ******* Когда мы сгинем в будущем, как дым, И снова скорбь людскую ранит грудь, Ты скажешь поколениям иным: "В прекрасном - правда, в правде - красота. Вот знания земного смысл и суть". ( Джон Китс, "Ода греческой вазе". Перевод В. Микушевича)
|
